数学分析I

今天数学分析出分了，回忆了一下过去一个学期学习数学分析的经历，感慨万千！

正如付云皓老师第一节课上说的，数学分析这门课是误差估计，很多时候一些看上去显然的结论其实并不是容易严谨证明的，学习数学分析的就在于打下一个坚实可靠的数理基础，学习一套严谨证明的工具，让后续数学的学习更加清晰简洁。我在学习这门课之前没有提前学习过任何关于数学分析的课程，付老师会在课上将课本中的精华部分提炼出来，即使是完全没有基础的同学也完全不必担心跟不上，但是平心而论课程的难度还是挺大的，尤其是最开始建立一个全新的语言系统的过程是有些困难的，如果没有基础的话需要花费更多的努力。

关于给分，数学分析的分数组成是5%考勤，25%作业，30%期中和40%期末，付老师的考勤向来是非常松的，作业基本上大家都是满分，所以考试对于成绩的影响是很大的。这学期期中考试平均分是79，90+有约30%，但是期末考试就非常困难了，据说平均分只有60多，90+的寥寥无几，而且没有调分！不过其实助教老师的批卷还是比较友好的，基本上只要能说明白你的思路，有道理就能得分，不会故意为难。我个人期末卷面分是90，考完试之后课程群里哀鸿遍野，不过也有大手子提前交卷，我觉得期末的难度是挺大的，如果不是特别热爱数学或者只是为了“装逼”完全没必要报这门课。

往年的期中期末考试难度是很低的，平均分和高数也差距不大，今年习题课上助教老师说过会“平衡”两门课的平均分，但是结果……总之，未来的数分期末估计不会再像过去几年那样简单了，但是只要理解了本质还是能够或分一个满意的成绩的。数学分析的考试题目大多出自教材的课后习题（包括问题！），所以期末考试之前不仅要看过去几年的期末考试题，更要熟练掌握课后习题，如果学有余力可以做一下问题，毕竟大多数的考试题目都是这些题目的改编，如果想要学好这门课，那么必要的刷题也是必不可少的，只有做更多的题目才能融汇贯通。

最后，我想感谢数学分析课的助教郑娟老师，郑老师的语速很快，第一节课如果还没从高考后暑假的状态中调整回来可能会感到有些吃力，郑娟老师的习题课完全没有一点水分，全程干货，很多内容上课无法立刻理解需要课后花费更多的时间复习吃透，一学期下来还是收获满满的，付老师的课上更多的是一些基础，习题课则更多的是技巧的运用，两者缺一不可。

省流

是一门适合在不满足于高等数学，想要深入学习数学，尤其是分析类课程的同学学习的课程。个人认为是想要进入数学系进行学习的同学必不能错过的课程。也强烈推荐其他专业的同学深入学习数学分析课程。但是对能力较高的同学可能存在课程内容安排速度较慢，课程内容简单的问题。

课程内容与难度

针对非数学系学生

我们先简要聊一聊数学分析I课程到底讲一些什么。我们学校所有数学分析课程的参考教材都是中国科学技术大学由常庚哲、史济怀老师编写的《数学分析教程》。数学分析I的内容是前五章和第六章的前一半，分别是实数和数列极限、函数的连续性、函数的导数、一元微分学的顶峰——Taylor定理、求导的逆运算、函数的积分。乍一看貌似非常的唬人，但是付云皓老师会用非常通俗易懂的方式讲解每一个定义，每一个定理，想要听懂完全是不成问题的。（而且助教（一般是郑娟老师）的讲解也深入浅出，补充了很多做题方面的技巧）。我想很多人都会有疑问，我不是数学系的学生，未来也不想进数学系为什么我要折磨自己去学数学分析，而不去学更简单的高等数学。或者说，数学分析对比高等数学到底有什么用。

1. 首先我要说明的是高等数学很大程度上都是泛泛而谈，对某些根本性的东西一点也不深刻，换句话说就是不太严谨（虽然数学分析只是解决了大部分不太严谨的问题）。高等数学的侧重点更会在计算上，而数学分析的侧重点更会在严谨上。We used the analogy that learning calculus is like learning to drive a car with standard transmission-acquiring the understanding and intuition to shift gears smoothly when negotiating hills, curves, and the stops and starts of city streets. Analysis is like designing and buliding a car.

2. 数学分析会带来更多解决实际问题中可以用到的思想，事实上，很多学科在实际应用之中是离不开分析学的。这一点和接下来第三点息息相关。

3. 数学分析是很多课程的前置课程，e.g.实变函数，ODE,PDE（虽然在南科大学习高等数学+数分精讲也可以学习这些课程，但是你的感受肯定是不一样的）。而这些课程是某些专业必须要学习的专业基础课（虽然有一些已经被rule out了），比如学习概率论与统计就要学习实变函数（这个已经被rule out了），但是我的生活导师（统计的，虽然我是数学系的）还是强烈推荐学概率论的时候学习实变函数中测度论的内容。

除此之外我觉得在大一不分专业的背景之下先选数学分析还是有很多好处的。哪怕自己真的学不下去数分，在第三周之前退课改选高数我觉得也是值得的，至少知道数学分析这门课程和数学系也许不太适合你。总之在大一这个阶段广泛尝试，试错也不会有太多的沉没成本。哪怕最后真的需要分析学知识，高数+数分精讲也不失为一种选择（虽然效果肯定不如数分来的好）。

针对数学系学生

很遗憾的是，如果你未来想进入数学系学习的话，南科大的数学分析对比其他985的难度要低的太多了。并且中科大的教材不仅偏老，还有很多错误（例如实数的定义、重积分换元等内容）。如果你想进入数学系学习，我个人建议在完成书上习题的基础之上（书上的习题以及问题绝大多数都非常优秀）再读一本其他的书，例如Rudin或者Terence Tao，楼分析（很难），梅加强，徐森林等等。具体可以参照刘思齐教授的视频或者网上有人整理出的pdf《如何选择一本适合你的<数学分析>教科书》，这里贴一个B站的视频链接{https://www.bilibili.com/video/BV1xp4y1e7Nh}。

如何学好数学分析

1. 首先我觉得是认真听讲（当然如果你有足够自信和能力你也可以不听），付云皓和郑娟讲解的都是非常好的。付云皓上课时非常强调定理内在的逻辑性，能够很好的帮助你构建严谨的思想，防止出现“惯性思维”，他的课上也会补充一些其他的内容（例如我们这一年补充的是I.Niven关于π是无理数的证明和高等数学有关不定积分的补充（高等数学在不定积分技巧方面比数学分上上的要难））。郑娟的习题课也会补充很多的做题技巧，例如各种不定积分/定积分的换元技巧等等。（而且两位老师上课都特别有意思，不会让你感到无聊什么的。）

2. 补充一本其他的书配合来看。中科大的书存在着一些问题，例如实数定义的问题，重积分换元法，补充的一些数学系知识也不够。所以我个人的建议是再选择一本其他的书做精读。况且数学分析的书籍种类很多，找到适合自己的才是最好的。关于如何选书这方面，同样的，我依然建议先阅读一下刘思齐教授的《如何选择一本适合你的<数学分析>教科书》，当中把主流的数学分析书籍的优缺点已经讲的比较明白的了。我个人没有精读其他的书籍，但是选读了Rudin的《Principles of Mathematical Analysis》和Terence Tao的《Analysis》，个人认为两本书都过于理论了，很多定理都是弱化版本，可能初上手会有比较大的难度，供大家参考。

3. 选择一本合适自己的习题集。现在市面上主流的数学分析习题集有：吉米多维奇、谢惠民、裴礼文。同样的，我觉得适合自己的才是最重要的。我个人一开始刷的是裴礼文，但是裴礼文可能考研题会比较多一点（考研题可能重点在计算上），我觉得不太适合我，所以之后刷了谢惠民。谢惠民的优势在于知识点有很多讲解和例题，练习题比较简单同时又不失思考深度，但缺点在于参考题有些难度很大而且市面上没有广为流传的答案。

4. （这条写给想进数学系的同学看）认识习题集的有限作用。大多数习题集都会讲解很多的做题技巧，通用的做题技巧肯定是要掌握的。但是如果你未来是真心想要学习数学的话（无论是纯数还是应数），都不建议死磕在数分高代的做题技巧上面。高中的时候可能是需要你不断做题巩固的，但是到了大学我需要更加注重知识的广度和深度，竞赛（包括平时做题）和数学研究是有很大区别的。如果担心成绩问题我可以很负责任的说在南科大的数学分析课程当中，不需要你有很丰富的做题经验就可以拿到一个很好的分数。

5. 如果对数学很感兴趣，除了书本上的学习之外我还建议可以多去看一些书或者科普视频（两种方式各有优缺点吧），无论是数学史还是可视化等等的内容都有帮助于你理解数学的本质。

和GPA相关的内容

一般而言分数构成是这样的——5%考勤、25%作业、30%期中、40%期末（听说之前有quiz，但是我们这一年不知为何没有出现）。

考勤一般是扫码签到，只要记得期中考后一直到拿到期中考卷的课一定都要来上，最后一节习题课一定要来上（一般习题课最后一节课会查一次考勤并核对平时和期中成绩）。Note:前三周课虽然签到但是不计入考勤，扫码签到无论你用什么方式只要签到了一般不会来找你。但是我依然不建议因为考勤松而翘课。

作业助教批改的大多比较松，难度也不大，绝大多数都是能自己想出来的（想不出来的也都可以AI出来）。

关于考试我觉得不用过多担心，只要平时认真学了，做一下前几年的考题大多数都不会有问题。（我们这一年的期末考的比较难，所以也许后面几年会简单一点。）

本年和个人情况

从考试卷来看我们这一年相对于前两年来讲是比较难的。

期中据说平均78最高100，我自己是99。

期末大家普遍哀嚎一片，我个人感觉一般，有一个问题没有太想清楚错了（其实是考试的时候太自信了觉得不会有问题，甚至提前交卷了，考完了才反应过来写的有问题。）

作业我看普遍给分都很高，个人是1299/1300。

总评99/100，估计期末97、98的样子吧。

最后希望大家都在数学分析中学的快乐，学的开心。

必上课程之一

非理科生, 但是相比高数我更推荐你学数学分析, 无论是为了应付必修课程限制, 或者是学习知识, 或者是为了提高绩点:

1. 数学分析课程作业少, 给分高, 也因为所谓的难度大还会调绩, 相对签到也比较松弛
2. 自学能力差, 没找到方法, 也有高质量课堂讲解, 和极度优秀的TA讲解(郑娟神中神.)
3. 用3学期课程讲解高数2学期内容, 不过确实内容会多上不少, 但是学会把握考试重点后会发现其实相对十分简单, 属于是把握重点后学过就会做的水平, 不过可能确实对学习能力和培养方式有所要求, 数分1 我刚开始完全学不明白, 抓不住重点, 十分挣扎, 但是跨过难关后就开始 easy mode. 如果你能做到这些, 你在数学分析拿高绩点绝对比高数容易, 题目简单, 也不会出现计算错误, 作答时间基本比较充裕.
4. 数学分析12 的内容比高数12内容要少, 应付考试的时候自然轻松很多. 而且比起操作性技术, 建立对数学的整体认知更重要一点.
5. 最大的风险是过于松弛会让自己忘记学习. 本身也因为习题材料比高数少, 但是有想法还是可以找到很多, 不过可能麻烦一点.

总评：通过三个学期数学分析的学习，我的收获是很大的，也极大地引起了我对于分析学这一分支的兴趣。学习的过程有快乐也有艰难。或许未来某个瞬间，当我感到迷茫的时候，我会怀念这段学数学分析的时光吧。
关于老师：
付老师篇：付神的讲课水平绝对是妮可数学老师中出类拔萃超凡脱俗的存在。他会画一个图。对我们要叙述的定理进行一个直观的描述。然后再简要的谈谈去证明他的想法，最后再根据这个想法非常自然的给出书上的证明。如果我刚刚从高中升上来，我会觉得这样讲课是理所当然的，但是作为大二老灯的我已经习惯了老师上课只叙述定理及其证明，而不加以什么解释。因此每次上到付老师的课，总有一种如听仙乐耳暂明的享受。终于有一些具体的东西可以直观的感受，而不是从抽象的抽象的演绎，具体的部分则需要我自己在课后费劲的补充。因此付老师讲的课在课后复习和回顾起来也是比较简单的，因为他给了我一个直观的印象和串联的思路。尤其是像数学分析这种有一些零碎的知识点需要集中去记忆的科目，主干的知识点能够被串联起来，省去大量的记忆量的优势是非常明显的。
付老师的缺点可以从他的体型上看出来（bushi），有点懒！这件事情在数分1里倒是影响不大。毕竟作为刚进入大学的菜鸟，付老师随便上课都够大家喝一壶了。但是在数分三里仅仅把书上的讲完不补充其他任何内容，我个人感觉是不太满意的，尤其是作为H班而言。另外他这学期在数分3H这边解锁了迟到的习惯，希望以后不要发扬光大（雾）。还有就是由于CMO的原因，付老师每年11月10号左右会固定出差一周，后面需要在周末补课赶进度。另外听说25年春季学期好像离开了比较长的时间，应该不是固定的。大家选课的时候要考虑一下老师的出差情况。不过不论如何，总的来说我仍然认为付老师配得上传奇数学分析教师的称号。

关于试卷及给分：
付老师出的试卷都是很常见的题型和问题。只要做过几张往年的试卷，就不会再考场上感到任何的意外，一般情况是可以轻松拿下的。不过需要注意的是，今年数分3h把常规的题型套上的一些奇怪的形式和技巧，使得我们的哀嚎遍野。不过又通过千奇百怪改卷放水的形式，调回了平均分。不过正因为他出的试卷每次分数都不错，于是调分似乎不太可能了。

关于助教：
zj老师绝对是助教中最顶级的那一位，专职的助教就是和研究生不一样（）。听她讲课能够把上课所学的知识点再整理一遍，还能获得很多的解题的方法。当了很多年的助教，她大概清楚每一个问题会在老师手里怎么考，所以她讲的东西往往能够直击考点。各位大一的同学，如果在课上感觉有点听不懂的话，一定要紧紧抱住郑老师这条大腿。人也是很善的，数分二的时候感觉平均分太低了，便和袁老师去商量调分，最后果然大调分。我的感激之情难以溢于言表啊！缺点就是抓签到抓的很严，而且习题课都在早上，不要错过了，不然扣平时分。

关于教材：
教材是中科大常济庚史怀哲的数学分析讲义。这本书整体来说不错，所有的主干知识都有而且证明也比较清晰，错误有但是不算太多，影响不太大。作业一般是这本书的课后习题，因老师而异会有一点点波动，不过总体都不太多。不过有一些比较偏应用的章节在这个书上占了一定的篇幅，但是作为一门以教授理论为主的课程，并不太关心这方面，所以这一部分往往被掠过。还有这本书虽然已经写得很厚了，但是仍然有一些非常有趣，且有一定价值的理论没有囊括在内。不过这也是不可避免的，毕竟数学分析的特点就是知识扱多，有些冗杂。因此除了对于教材的阅读，在一学习数学分析的过程中，听老师讲课梳理出知识的主线，在课外阅读一些其他更全的教材，去补充一些自己感兴趣的知识都是非常有必要的。在这里推荐菲茨哥赫金的微积分教程，虽然里面内容极多，不太适合第一遍的学习，但是在学习了一遍之后，翻开这本书去补充一些自己感兴趣的方面顺便做一些细节的梳理我认为是非常不错的。

结语：分析学有趣迷人，深深吸引着我，为我打开了一扇通向高等数学的大门。多年之后，当我面对某个难题驻足不前时，我仍然会回想起第一次上数学分析的那个炎热的上午。

实话说，在上数分课前其实对自己并没有很大的信心。暑假也只是简简单单看了一部分网课。
但在实际上课过程中感觉数分课真的！真的！真的！特别好！付老师上课讲得很清楚，会把每一个知识点都过一遍！同时感谢郑娟助教，一些课外的问题都会及时答复，也会给历年的真卷。
这次期末考试如果认真学的话其实会发现大多题目都是见过类似的。不过今年数分期中竟然平均比高数高真是令人没想到。期末均分还没出，不过个人感觉（通过同宿舍三个高数的）还是会比高数高不少。明年或许数分难度会增加，慎重选课，及时退课（毕竟是数学系的课）。不过付老师的课一定值得来上。

数学分析II也学完了，在这里放一个传送门。 25/06/13

问：付云皓老师的数分课有什么特点吗，有没有需要特别注意的地方？

答：付老师的数分课比较详细，可能一道题会有他自己的不同于课本的几种解法，另外期中、期末考前是会带着大家一起构建系统的知识网络的，还是很清晰的。特别注意的地方倒是没啥，只是学数分的话建议都课前进行一下预习，上课进度是有点快的（一节课十几个定理的证明不在话下）。

追问：付云皓老师和马富明老师谁的课更推荐？还有马富明老师讲课什么风格？

答：本人两个老师都上过，没有硬说哪个比哪个好。付老师讲得比较快，马老师讲得比较细。马老师的证明会讲的清楚一些，但是付老师会给多一些不同于课本的方法。马老师上课除了知识还会讲一些大道理。