多元统计分析

前人之述备矣.

和田国梁一样打入薪水小偷.

PPT 非常古老而且甚至不是 LaTeX 显示的数学公式, 笔误也随处可见.

e.g. 见下方.
 

您看得很准！这页幻灯片里不仅有一个 typo，而是至少有三个非常明显的数学错误（typo）。

作者在推导过程中把指数、分子分母、以及对数变换彻底搞混了。我为您逐一拆解这些错误：

Typo 1：似然比 $\lambda$ 漏掉了指数（第一行第二个等号）

• 图片原文：$\lambda = \dots = \frac{|\hat{\Sigma}_0|}{|\hat{\Sigma}|} = \frac{|\sum\dots|^{-n/2}}{|\sum\dots|^{-n/2}}$
• 错误分析：多元正态分布的最大似然函数值是正比于协方差矩阵行列式的 $-n/2$ 次方的，即 $\max L \propto |\hat{\Sigma}|^{-n/2}$。
• 正确写法：第二个等式应该写成 **$\left( \frac{|\hat{\Sigma}_0|}{|\hat{\Sigma}|} \right)^{-n/2}$**。作者在这里漏掉了外面的指数 $-n/2$，但紧接着在第三个等式里又强行把 $-n/2$ 凭空变了出来。

Typo 2：代数变换错误，分子分母颠倒（第一行最后一个等号）

• 图片原文：$\dots = \frac{|SST\text{的展开式}|^{-n/2}}{|SSE\text{的展开式}|^{-n/2}} = \frac{|SSE|^{-n/2}}{|SST|^{-n/2}}$
• 错误分析：第三个分式的分子分明是总方差矩阵（SST），分母是误差方差矩阵（SSE）。但在最后一个等号，作者把 SSE 放到了分子上，SST 放到了分母上，却依然保留了 $-n/2$ 的负指数！这是违背基本代数常识的。
• 正确写法：应该是 $\left(\frac{|SSE|}{|SST|}\right)^{n/2}$ （指数变正），或者是 $\frac{|SST|^{-n/2}}{|SSE|^{-n/2}}$（SST保持在分子）。

Typo 3：Wilks' $\Lambda$ 定义公式产生逻辑矛盾（第二行文字）

• 图片原文：We define Wilks $\Lambda$ Statistic as $\Lambda \equiv -\frac{2}{n} \ln(\lambda) = \frac{|\text{SSE}|}{|\text{SST}|}$
• 错误分析：这是最严重的一个概念错误，导致了等式前后不成立。
  1. 根据正确的推导，似然比 $\lambda = \left(\frac{|SSE|}{|SST|}\right)^{n/2}$。
  2. 如果按照作者写的 $-\frac{2}{n}\ln(\lambda)$ 代入，结果会是 $-\ln\left(\frac{|SSE|}{|SST|}\right)$。
  3. $-\ln(x)$ 显然不等于 $x$。所以公式两端根本不相等。
• 真相：威尔克斯 $\Lambda$ 和似然比 $\lambda$ 的真实关系是 $\Lambda = \lambda^{2/n}$。作者很可能是把推导威尔克斯统计量（提取 $\lambda$ 的 $2/n$ 次方）和大样本似然比卡方检验（统计量为 $-2\ln\lambda \sim \chi^2$）这两个长得很像的公式在脑子里搞串了，揉成了一个错误的式子。

💡 正确的推导过程应该是这样的：

如果您要做笔记，建议按照以下正确的公式链条来记：

1. 似然比推导：
   $$ \lambda = \frac{\max L_0}{\max L_1} = \left( \frac{|\hat{\Sigma}_0|}{|\hat{\Sigma}|} \right)^{-n/2} = \frac{|SST|^{-n/2}}{|SSE|^{-n/2}} = \left( \frac{|SSE|}{|SST|} \right)^{n/2} $$
2. 定义 Wilks' $\Lambda$ 统计量：
   $$ \Lambda \equiv \lambda^{2/n} = \frac{|SSE|}{|SST|} $$

中规中矩的统计系专业课，使用教材为王学民多元统计分析第三版。

上课约等于念ppt，所以可以自学，但是学期中搞了随机签到。

本学期考试没有cheating paper，但是期末基本给到了要用的公式。在期末前建议认真学习ppt例题和exercise部分。

蒋老师口音比较重，但看得出来是很用心的在讲课，同学提问也会很认真的回答。

上课听不懂没关系，整体不是很难，看ppt就行，会写作业就差不多了

期末这学期没有cp了，悲。老师说卷子上会给出需要用到的公式，只能说如给。期末考试好多公式没记住，期末大寄顺手的事。但好在老师前面作业，proj给分都很高。期末寄了无伤大雅。

蒋老师上课确实口音让人听不懂，内容让人不想听，ppt上很多错，建议自学的直接看书，如果前一个学期史建清老师的统计线性模型有好好学的话，这门课不会有太大的困难。蒋老师人不错，可以去找他看看卷子（懂的都懂），如果他说期末不能带cp，一直磨他或许有惊喜（因为他之前说往届的没带），还有就是如果他不换参考书，用的还是第4版（就是代码用的SAS）的话，请不要只看第8章的SAS输出结果（他上课只讲了第8章的，但我们的期末考了第10章的，所以下一次就不知道了）

本学期22级数系唯一一个拿了这门课的，最后给混了个B+勉勉强强

核心感觉是：感觉自己外行的不能再外行

做proj幸好有认识的人组队带我，最后就很费力地负责了些个很普通的技术细节，那种做一个问题的整体思路是完全没有的，听报告感觉科班同学用各种这门课别的课学来的技术穿插乱飞

学的还是“有用的数学”，就是矩阵代数确实比较丑陋，得出的结论感性上很好认识，技术细节常常令人摸不着头脑。最后说服自己不管推导过程了，理解在讲一件什么事情就不再深究

（由于没有用过计算器敲矩阵导致期末考试手敲2*2矩阵，顺理成章没有写完试卷，令人忍俊不禁）