代数与数论专题

这门课讲Association Scheme，属于代数组合学的范畴。由于不知道会不会再开了（限定课程，bushi），就不很完善地讲课程内容，大家随便看看。

在正式讲Association Scheme的时候会讲到两个例子，一个是把群之间的乘法看成除法，另一个是和图有关的。由于默认大家都学过抽代，前半学期都在讲图。主要是讲的Spectral Graph Theory，包括广义的谱、广义的谱定理（作为应用证明了代数几何里的一个定理），和伴随矩阵等概念。然后就讲一些特殊的图和怎么得到其伴随矩阵的谱，比如SRG，完全连通图，multipartite graph。顺便讲了一点半正定矩阵的理论，如Perron-Frobenius定理，并完成某种图的分类（和李代数相关）。这块我觉得就是要会矩阵语言与图的语言互相转化，加深理解。

然后正式到Association的定义，有几种等价定义，要学会互相转化。这里用矩阵上的“double algebra”（普通矩阵代数再加一个entrywise product，似乎是老师自己提出的一个概念，还没有很好的名字）作为例子/motivation引入，据老师本人所说已经是尽力找一个motivation了（）。然后就讲到intersection number，这个算是一个课程重点？毕竟是组合课，注重算数的。

接下来，为了推广群的表示论到“double algebra”上，先讲了一些群表示论。这部分和抽代三恰恰相反，讲法比较偏观点/思维，并不是很有一堆代数构造和细致证明，注重于特征标表的定义和正交性质，在尽可能少讲原理的情况下教会你算特征标表。然后也提到一嘴卷积和傅立叶变换，群和乘法，卷积也构成“double algebra”。

最后就到“double algebra”/association scheme的特征标表，由于有两个乘法，会有两组primitive idempotent basis，然后排列组合一下乘法的可能性就能得到特征表标P，某种它的逆Q，intersection number p（i，j，k）和Krien number q（i，j，k），还挺神奇的。不过一般计算起来会很复杂（可能会用到很多组合技巧），即使是对于看着非常简单的association scheme。不过对于特殊的一类（p-polynomial）有相对简单的算法。

授课风格参考向代，但没这么发散。说话都是高密度的nontrivial的东西一下就过去了，真有心学好就得记录下来满满啃啊！

给分：作业70，期末30。其中作业争取平均得分率大于90%。