初等数论(H)

2026.01.23更新

我一点也不喜欢数论。

省流：如果你是竞赛生/超级选手，那这门课对你来说就是保持GPA的课，你可以无视我的劝退，之所以不是刷GPA的课是因为竞赛生的GPA和本门课能拿到的GPA差不多；如果你不是竞赛生/超级选手，有两种选择：别选这门课，如在H班，请退班；大量刷题，直到数论水平达到竞赛生的水准。

本人不是竞赛生，在高中从未学习过数论的内容，同时也是在大一下才开始学习数论的相关知识。介于去年xq的“优秀战绩”，我在大一后半段就开始学习数论这坨东西，看的书是 GTM 84 (IRELAND/RoSEN. A Classical Introduction to Modern Number Theory. 2nd ed.) 。这本书并不适合这门课，详见下文教材部分。

这门课只有大量刷题才能拿高分。

H班的初等数论高手太多，显得我格格不入。

关于向青

这里先辟谣一下：“xq了解到2024秋初等数论成绩avg太低，认为学生数论水平有待加强，于是决定将初等数论划入必修。”这个说法并不对，实际上，2024级数学与应用数学专业的培养方案一开始就有初等数论这一门必修课。

我一直讨厌xq，xq是我见到过风评最差的数学系老师，我也不知道为什么（可能因为不是中国人？）。（2024fall xq初等数论 2024.12.30期末，但是xq考完就去了澳大利亚，2025.01.20/2025.01.21号才能查卷。）

xq每年只教也只用教初等数论，2021到2023年，xq的风评相当好，评论内容都是“调大分”“0数论基础也能上”这种语句。根据学长的描述，因为一开始xq出的题目太难（连huy都做不出来），于是大规模调分导致风评还行，后面把难度降低了，但是调分也不大了，尽管还是爆难就是了。

考试&成绩

期中avg 70，max95；期末avg 81，max100。初等数论的题目基本纯靠积累，某些题就是初见杀，剩下的题更多是考数论的熟练程度。

毕竟搞笑的是xq 11号才回国，11号才能查卷，没招了，而且也不是考完就出国，早点改完让我们查卷不好吗？就算考虑到学生还要备考其他科目，也可以交给助教评判吧，让助教先判，自己回来再看。

xq把总评调了几分，具体怎么调的，调了多少不清楚。

讲课

我承认xq的讲课水平确实是不算太差的，会穿插一些小故事，讲的东西也不算太难。但是这门课的内容安排真的很差劲。xq的讲课顺序很奇怪，除了前几周在讲基础知识的时候是有点逻辑的，后面基本是想到哪里讲哪里了，整体非常地零散！还有一点是xq会用比较多抽代的内容，然而抽代在培养方案里下学期的课。Character, Gauss sum, Jacobi sum 和离散Fourier这些东西都需要一点抽代东西。xq讲的东西对我来说相当简单。每次上课就是看xq在捣鼓一些东西，和初等数论有关系的不难，和初等数论无关的和考试无关。

xq有时出差，导致会换老师，可以不用再听邪恶xq的罐头笑声和沟槽英文了。2025.11.17 huy来带了一节课。2025.12.15 xq又跑路了，这次和杰出一起跑了。又是huy来代课，huy说这些“代数数论”的内容只是“抽象代数的一个特例”。因为考虑到我们没有学过抽代，于是只能照着课本讲。实际上，学过抽代的话，那些结论是显然的。 2025.12.24 xq又跑了，叫了fzc代课，但fzc的讲课水平我有点难评。

教材

教材是 An Introduction to the Theory of Numbers, 5th Edition (Ivan Morton Niven, Herbert S. Zuckerman etc.)，参考书是GTM 84。

如果你对数论感兴趣，GTM 84是一本很好的书，很适合学习；如果你只想应付考试，没必要去看这本书浪费时间，去看教材，去刷题。

我用GTM 84来学习数论，这本书写得很好，但是，它不是初等数论书，它仅仅只是告诉你这些定理，却不会告诉你在题目中怎么去运用这些定理，它讲这些初等数论定理的目的是为之后的某个代数数论的定理做铺垫/给出这个定理的初等证明方法/给出一些例子，或者只是告诉你有这个定理而已。它不拘泥于初等数论，因此不会在初等数论耗费大量篇幅去讲一些只对初等数论题目有帮助的定理。

教材是真正的初等数论书，观点不高，初等数论内容都有，还有很多题（包含小众变态题目），做这本书的习题对考试帮助很大（当然，做其他书的题也一样）。缺点就是太过初等，学不到什么（初等数论都这样子），后面的“代数数论”也是刚入门的级别。

作业

xq的作业也是竞赛风格，狠狠惩罚非竞赛生。一部分是基础题，单纯考察定义，一部分是考察某些初等数论定理，还有一部分是小众变态题目。介于我的学习情况，我只会写第一种题和一点点的第二种题。作业写起来相当折磨。

引用 一位匿名用户评论 中的一段话“周末花出一整天的时间，泡在图书馆苦想数论作业题，可能我作为没有天资的学生一天只能做出一两道”。   很抱歉，没有天赋的我真的做不来这数论题目。

关于自己

这门课给我带来了巨量的痛苦，我对很多人都“吐槽”过xq和初等数论H，期中考试的绝望，刷题的恐惧，期末考试的麻木。我想这是一段相当难忘的经历，不过这种经历倒是不会再有了。它成功击碎了我很多幻想，也让我很多计划泡汤，我不得不去重新规划我之后的路径，这也是我这门课最大的收获，尽管它并不来自课程内容。在上这门课之前，我早已听说这门课臭名昭著，也不算没有准备，至少数论的知识是学了的；但正如我前文所阐述的那样子，准备了效果也是杯水车薪。期中坠机后，我才开始真正开始学习初等数论，开始去研究那些变幻莫测的技巧。我发现它并不像其他课一样，有着大量的知识，让人有探索的欲望，即使在一些没有motivation的版块，学起来也不会很吃力；初等数论充斥着大量的代数技巧和众多妙妙的结论，这些东西像蒲公英，飘到数论的大地，但是你不知道它从何而来。我只好解释为这是“前人的智慧”，毕竟我自己也整出过一些很奇妙的定理/公式。它如此神秘，解题方法千变万化，在学习初等数论的过程，我能感到的只是恐惧。每次刷题都是极其痛苦，我花费了大量时间，没有学到任何知识，只是学会了几个代数变形和几个初等数论题型，甚至可能徒劳无功，还增加了我对初等数论的恨意，仅此而已。

H班的很多同学都有过竞赛经历，我很羡慕他们，他们热爱数学的程度和数学天赋应该都在我之上。高中的我从没有想参加过竞赛，我认为没有天赋，事实也确实如此。当我看到他们在初等数论H的考试中取得不错的成绩时，我有点怨恨那个没有参加过竞赛的自己，怨恨那个上半学期没有刷题的我。我在想，如果我从开学初甚至在高中开始刷初等数论题，结局是否会有不同吗？

实际上，我注意到很多课的课程也可以像初等数论H般考一堆技巧，在一个很小的知识范围内疯狂地出小众变态题目，但它们和初等数论不一样，它们知识量多于初等数论，同时考技巧对知识的理解没有任何帮助，某些课程技巧性不强的题目难度就已经很大，已然不需要通过技巧创造区分度。

看了之前的评论，感觉“前人之述备矣”

引用 Peilomap评论 中的一段话“省流：在本课程不改革的情况下，从前未学过竞赛数论的同学若想要取得好的成绩，建议在暑假或者学期内至少刷完一本竞赛数论书，否则有99%的概率绩点爆炸。甚至于我想说不推荐没学过竞赛的同学选这门课，但是由于24届的培养方案把这门课列为了必修，后人大概率是逃不掉了，只能祈祷课程改革或者搞个H班把数竞爷塞进去。至于数竞爷？那来这门课就是纯纯炸鱼。”   确实变成H课了，我GPA也确实爆炸了。

引用 另一位匿名用户评论 中的一段话，“没事干批发C？说要加大本科数论培养那你整个后面用不着的初等数论？是不是没能力开解析数论和代数数论的课？老子有这时间上这破课不如等学完复分析和抽代自己去读解析数论以及代数数论甚至直接去读Stein都有很多解析数论的结果，学这玩意还考出来一坨答辩真TM破防了”。   结果还真变成必修了，有点太好笑了。

引用 Andrea_Colon评论 中的两句话“作为初学者，这门课能让你花费很多的时间拿到一个巨低无比的绩点 这可能非常打击人的积极性 尤其是在进系的第一年 慎选”  确实是慎选啊，不过改成必修了，必选这一块。“听说要变成必修了 个人觉得不会这么乱来了”  其实不然，还是和之前一样。xq：我爱怎么弄就怎么弄，“系主任的权力是无限的！”

改编自 数据库原理H中一位匿名用户的评论 ：

如果你是大一的同学，想要考入菲尔兹班，且恰好刷到这条评价，那么恭喜你刷对了帖子

你现在有两种选择。

1. 在大一学完初等数论并且做大量的习题，或者保持自己的竞赛水平；
2. 在大二体验一门极其有收获和挑战性的数学系课程，享受熬夜自我怀疑和努力后终于得到了低绩点甚至挂科的释然。

我当然推荐第二种。原因如下：

其一，没有人不喜欢挑战。有压力才有动力，大二绩点高了岂不是大三就不会努力？

其二，在考试前，会给出考试范围，其中部分内容不会在考试中出现，考验同学们的信息辨识筛选能力，既然课程名称是初等数论H，那考试范围肯定只有初等数论的内容。

其三，上课会讲和初等数论关系不大的内容，有助于拓宽同学们的视野，同时对这部分的知识考试不会考察，保证同学们不会因为听不懂而担心成绩。

其四，期中考试的内容非常基础，高中竞赛生也能做，就连菲尔兹班不学无术的同学们都能考到70的平均分，期末考试更是有81的平均分。

其五，其中考试成绩分布呈现双峰分布，打破传统的正态成绩分布，确保不会大量出现徘徊在“温饱线”的同学。

其六，期末考试在2025.12.29，而查卷时间在2026.01.11，给同学们足够的时间做心理建设，相比2025fall抽代2上午考完下午出分，更加“人性化”。

其七，同学们对向青老师2024秋初等数论的评价一致，想必一定是好评如潮吧。

其八，通过学习一门在后续学习中毫无用处的课程，让同学们开始意识到南科大数学系培养方案的一些弊端，有助于教改的推进。

碎碎念：我們的教育確實有問題！初等数论不应该必修！

关于初等数论N的评价：初等数论N的加分点基本来自于huy。huy讲的知识量比xq多一些，不过也这导致某些地方讲得并不深入，同时过多内容会导致听者需要花费大量时间来理解，作业每周10道，作业量偏大。期中avg61，题量很大，并不适合2h的考试时间；期末放水。“期中和作业设计虽然不太好，但是huy弥补了这一部分”介于本人并未选这门课且并没有去旁听过，只是根据他人的描述，评论难免会有错误之处，还望大家指正。

建议把初等数论重新归到选修吧，这门课真的没什么意义。竞赛生什么都没有学到（那些竞赛没有的内容，零零散散的，xq讲的也不深入，评价为九牛一毛），非竞赛生在苦苦挣扎。可笑的是，非竞赛生最后也就会初等数论题目中一些技巧，懂了一些初等数论的定理。比较搞笑的是“部分”技巧和“部分”定理对其他课毫无用处。至于初等数论有什么用，可能在之后遇到涉及初等数论的内容时，少花几分钟，捡芝麻丢西瓜这一块。初等数论的知识都是不难的，初等数论也没什么东西，自学很快就能学完，还整成必修。我完全不知道上初等数论这门课对之后的课程学习有什么帮助。我在学抽代的时候，和初等数论比较相关的就是Euler函数和一些零零散散的东西。至于其他课程中涉及到数论内容的知识，个人认为这些涉及到的初等数论内容完全没必要专门上初等数论课学习，知道某个定理直接拿来用完全没问题。

2024级的初等数论是必修，于是有了初等数论H。2023级的培养方案还比较“正常”，抽代放到大二上，初等数论是选修。2024相较于2023，少了pde，多了初等数论。如果初等数论N和H的老师都像huy和lly一样，那我很支持改革的，毕竟可以少学点知识，让想学的人去学pde；如果是xq这种，那我不得不反对了。

ps：NCES知名课程——王中秋的数据库原理，尽管给分挺好，不过槽点实在过多，因此收获了20个1星评价。但是，在2025级的培养方案里，这门课划到选修了。你的意思是计算机系把他们的“王牌”课程划到选修，数学系把“xq初等数论”划到必修。“男人，什么罐头我说”

初等数论说好听点是数学的皇冠，说不好听就是没事干的人整出来的东西。

我可能一辈子都忘不掉初等数论了。

把我在教学质量管理平台上的评教内容搬过来，这篇是期中考完后不久写的，算是比较真实的反应，最后补了一段期末后的内容，期末试卷和往年一样只有初等的，由于相关评价太多就不加写评价了。

凭心而论，这门课绝对是我大学以来遇见的于编排和考核上最差的一门课，，这并不是气话，而是完整上下来的真实感受，我会进行详细的分析，并对自己的话负责。

于课程编排上，最大的问题有两点：

①在这门课的学习过程中，绝大部分的同学都是没学过抽象代数的，起码在菲班大纲上，抽象代数在初等数论的后一学期学习，向老师作为系主任不可能不知道这一点，但既如此，课程中且夹杂着不少抽象代数的东西，如代数数构成域、代数整数构成环、群的特征等等，这绝对是不合理的，既然我们没学，就不该出现这些东西，再不济也要提供参考资料，而不是一句菲班学生学习能力强就全丢给学生自己不管了，菲班学生学习能力是稍强一点，但课程绝不能这么安排，要不然全让学生自学好了，还开什么课呢？且这明明有很简单的解决办法，把抽象代数和初等数论的顺序换一下就行了，不知道为什么一定要如此安排，明明是明显不合理的。

②课程内容量明显过大，且广而不深，我翻看了多所高校的培养方案，发现我们这门课的内容量相比其他学校几乎翻了一番，虽说是H班，但是也不应该如此离谱吧？菲班的学生IQ是普通学生的两倍还是咋滴？这就导致了对于非竞赛生来说，接受起来十分困难，且需要额外的时间成本去预复习才能跟得上。且这些多出来的内容，明明都可以在其后的课程中学到，如Guass和与Jacobi和，都能在代数数论这门课中学到，群的特征也能在群表示论这门课程中学到并且更深入，Fouier的内容就更不用说了，所以不知道编排这些内容有何意义，而本该属于这门课程的内容却没完全涉及到，教材前三章的内容都有不少跳了的，总之就是像罐头一样，量大撑得慌却没法细品，我觉得菲班学生更应该吃一些精美的佳肴。

除了课程编排之外，今年课程考核也有非常大的问题，由于课程评价是未考期末，所以我只以期中考试来进行说明。

①题目难度顺序不合理。此张试卷最难的大题竟然是第一大题，后面的题都没有什么难度，不知道为什么会有这样子出卷的。

②考试内容含量分配不合理。课程中只讲了差不多两周的二次剩余一个知识点竟然考了整整45分，即第三大题20分，第四大题10分，第五大题15分，而有非常多讲过的内容，如中国剩余定理、威尔逊定理、欧拉定理、代数数与代数整数、Guass和与Jacobi和更是一点没涉及，甚至Guass和与Jacobi和是考前明确说了会考的都没有考。

③具体考察内容不合理。我发现向老师对学生基本功的培养是真的一点不重视，不仅反映在这次考试上，还反映在每次的作业上，这次考试挺难，但并不难在对知识点的应用上，而是难在各种莫名其妙的地方，如第一大题的第四小题，这题问你9013能不能分解成三个数的平方和，而要做出这题，要么你注意到它是个素数然后用平方和定理，要么就用计算器一点一点摁。真不知道这题考察了什么硬功夫，就考验我们有没有高超的注意力或是学没学数论都会的摁计算器？还有第一大题的第二小题，不知道的还以为在培养拉马努金呢。

总而言之，就一句话：这套试卷完全不能反映出学生的真实水平。即使认认真真学，仍然很容易考到一个低分，反过来，即使学的漏洞百出，也有几率考一个高分，究其根本是这套试卷根本不考察对知识的掌握和熟练程度，也没有思想与思维上的深度，而净是些小巧思和小聪明，难登大雅之堂。

tis登分了，总结一下：期中均分71，期末均分81，菲班学生还是太强了。最后打两星而不是一星是因为老师最后还是调了点分，把我捞上A了，原本是完全没指望了，因为我期中因为倒数第三题看错题了狂扣18分，期末拿满都只有A-。所以我给出“给分好坏”的评价为“一般”，并把评分上调一星，但由于课程本身有硬伤，所以这个星数我认为还是合理的。

首先，这门课确实有很多不合理的地方。比如强制必修，课上讲了高斯和，有限阿贝尔群上的傅立叶分析，二次域等比较高级的东西，但作业和考试内容又过于初等，强调技巧。严重的教考分离。给分估计也好不到哪去。所以强烈建议以后的同学如果对数论不感兴趣果断退班。

但是我个人对数论比较感兴趣，从我的视角来看，这门课也没有那么糟糕。前半个学期用抽代的语言快速地把整除，同余，原根，二次剩余讲完。这是最自然的讲法，但对部分没学过抽代的同学就不太友好。下半个学期的课可以说是一个导论。大部分时间用来介绍了高斯和，傅立叶分析，素数分布，二次域的知识。小部分时间讲不定方程（然而这才是期末考试的重点）这些内容能开拓眼界，课后自己看书拓展能学到很多东西。比如有限阿贝尔群上的傅立叶分析就可以用来证明Dirichlet定理（stein的傅立叶分析最后一章），二次域深入下去就是代数数论（我看的是Milne的讲义，不过也没看多少）。课程参考书GTM84上的一些内容也是不错的补充。

其他同学已有的某一些评价我认为有失偏颇，数论这个方向是有前途的。而且分析的方法也可以用于数论，认为数论和后续课程没有任何关联是没道理的，比如stein的复分析中有一章专门讲了素数定理。

总之，这门课不适合对数论不感兴趣的同学以及抽代完全0基础的同学（但其实只要懂一点点群环域就够了）对绩点特别在乎的也慎选，隔壁hy的给分肯定比xq好。

课程内容上没有任何亮点, 知识上大概是整除, 同余, 原根, 二次剩余, Gauss和与Jacobi和, 数论函数, 丢番图方程, 一点代数整数相关的抽代, 学过抽代的话随便拿捏..不过初等数论本来就是很无聊的一门课, 没什么东西也是正常的.

作业和考试的重点则都是数竞初等风格的数论, xq尤其偏爱似乎Putnam风格的数竞题之类的..平时作业有一些题非常technical, 考试比作业简单然而也可能随机刷机很难搞的题 (比如说期中那个 \(n|2^n+2\) ) , 25年的期中和期末如图 (xq会在考前发往年题)

今年考完之后也没通知查卷就跑到国外去了, 期末周结束之后的1.11才能查卷, 去年他似乎也是同样操作, 期末分到现在为止还处于不可观测状态, 也是很神人了…

前人之述备矣，不过我个人觉得qingxiang讲课还行（）有限交换群上傅里叶分析挺有意思的，还证明了F_p上次数为d的不可约多项式有多少个。

可惜都不在考试范围（）

如果这门课放在抽代之后+选修+1/4学期带过初等数论内容然后开始讲解析数论或者代数数论+教考结合+把“初等”二字去掉，这将会是神课。

可惜都不满足

2023老学长被深深伤害，大题全部不会（Mujica表情包），出考场题全背下来了，供学弟学妹看看。

收获主要来源于被迫自学一些代数（主要是害怕xq期末考太多代数数论），但实际上几乎没考。期中期末前xq会发样卷，但显然是比实际考试要简单的。本人做完xq期中样卷后，麻痹大意了，实际期中时开局就被打乱节奏，判断题很难，一度导致心态崩溃，看错了一个20分大题（最后只得2分）。整一个期中就把容错率用完了，于是期末更加小心谨慎了，但期末确实不难，基本都是一些计算和考场上被逼出来的“灵机一动”，没有特别离谱的构造。

xq的分数设置导致考试几乎没有容错率，每一个大题没有分小问设置，做不出的话一个题很大概就一两分；期中和期末占比一样，就算期末满分，平时分不扣，期中稍有不慎错个大题也拿不了A+；有人说很靠注意力，其实本人觉得更靠记忆力，例如n|2^n+2，找一个比6大的满足条件的n，没见过的几乎难以在考场上想出，写出来的基本都是学过竞赛见过原题的。

对于没学过的竞赛但又必须学这门课的，本人建议阅读《数论：概念和问题》（titu)、《命题人讲座：初等数论》里面最简单的一些竞赛题，看完自己看得懂的部分留个印象，足以囊括xq考试范围。至于真的想学一些大学数论知识，还是别指望这门课了。

更新：由于xq给我总评调了4分，故将评分上调4分