代数专题-群论

理想中数学课的模样。

前置知识：抽象代数，拓扑，表示论的概念（最好有）

考核方式：作业（10'）+ pre（30'）+ 考试（60'）或者可以选择 作业（10'）+ 考试（90'）

主线内容：经典李代数的表示（Witt代数，Weyl代数的表示，\(\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\)最高权模的分类），有限群/拓扑群表示论，李群的引入及表示，李代数的构造（切映射）

听课完全不需要担心语言问题，教授语速不快，口音纯正。Futorny教授讲课可以作为pre的范本，pre有困难的同学，可以学学Futorny教授介绍topic的思路。上课有时可以采取“听报告”的策略，着重注意命题陈述了什么，各命题之间如何关联的，而细节部分，本就不应该成为课堂的重头戏。部分有启发性的细节/example，教授也会留作exercise，课后可以自行补全。

另外，强烈建议参与课程的pre。Futorny教授留的topic内容是很丰富且具延展性的，难度也会照顾到本科生的水平。李代数作为一个内容庞大的数学分支，课堂的时间不足以展现其全面的图景。对于初学者，李代数可能是陌生且“不自然”的。认真的准备一次pre，讲好一个story，可以更直接感受李代数结构的“自然性”，以及其理论的丰富性。

对大多数同学来说，这门课的内容会是陌生又新鲜的。或许每节课都会有不明白的地方，但这正是最好的学习动机。疑惑的地方可以直接问教授，也可以问助教Leo哥。Leo哥超级热心，有问必答，最终的课程笔记也整理得超级完整漂亮！！（见过最好的助教（哭））

简单的建议：1. 为这门课预留好每周的课后学习时间； 2. 不要迷失在证明的迷宫和技巧的丛林中，多算点具体例子；3.可以在课程的一个topic结束后尝试复述内容，毕竟，没法传达出的知识，有什么用呢（笑）

如果对李代数以及表示论有过一定了解的话，这是一个相当精品的课程。

Futorny教授水平相当高。笨人上这门课的时候是纯新手，对于我来说，教授讲课极其抽象…优点是观点很高，总是分享一些很高级且前沿的结论，类似讲座性质的。缺点是观点太高了，非新手向，需要自己补充大量的细节。中间什么都听不懂什么都搞不懂的时候压力挺大的，搞得一度想带w退课…好在坚持下来了，期末复习打通之后才发现上课讲的内容是安排得多么精妙。

有一个选择性的pre，pre的主题对理解整个课程有极大帮助，我个人感觉就是靠准备pre的时候读了很多书才理解了上课教授在干嘛（）

参考课程主要内容：

第一部分（李代数的定义与表示）：李代数的定义和基本性质，导子代数，Witt代数，中心扩张与泛中心扩张（由Witt代数进行泛中心扩张得到的Virasoro代数），格罗滕迪克微分算子代数，Weyl代数，PBW定理，Witt代数W_1的表示，Harish-Chandra 模(只讨论W_1模)，最高权模，Weyl代数A_1的表示，A_1不可约权模的分类，李代数的表示基本概念，复数域上有限维不可约sl(2)-模的分类，复数域上无限维不可约sl(2)-模，Verma模，Weyl定理（对于半单李代数表示的完全可约性）（给了一个用正合列的证明，不太寻常），sl（2）模的张量积(Kostant theorem)。

第二部分（有限群表示论）G-模以及其张量积，舒尔引理，实表示的复化，不可约实表示的复化的性质，正交表示于G-模完全可约性，矩阵元素及舒尔正交关系，有限群的双边正则表示及其Peter-Weyl定理，特征标的性质，特征表，传递作用，置换表示的分解定理

第三部分（紧致群表示论和李群）拓扑群和紧致群的定义，哈尔测度，SU_2和SO_3的关系，SU_2不可约模，紧致群版本的Peter——Weyl定理，紧致群的特征标，调和多项式与平方可积球面函数的Peter-Weyl定理的具体构造，球谐函数，李群的定义，李群的模，李群对应的李代数，李代数在李群模上的作用。

期末给了样卷，期末考试相较于上课内容难度较低，助教也已经尽可能在捞了。

助教Leo人超级好，是我见过最认真负责的数学系助教，会整理好非常漂亮的课程笔记供我们参考复习。在此再次表示感谢！

本门课学习心路历程：

听说这门课不算很难，我来give it a try

第一周：Futoyny老师：孩子们，我带你们一点一点复习什么是模，什么是群代数，嗯作业就是补充课上没讲过的一些东西的证明

第二周/第三周：开始飙火车，学习进度被本人猪脑限制。

。。。。

讲到群表：卧槽啊，终于上课跟的上了，还好认识一位高手，不然得w退课了，让我算个特征标和正交性还可以。

助教还是Leo哥，作业主动减少量，pre来了打满，考试跟我们商量，每周记笔记，我建议数学系多给Leo哥发工资（（（

现在： 一周弄了个SO3 跟 SU2/{+—I}同构，然后通过在这个群在球上的连续函数空间讲出来出了 调⭐和⭐分⭐析。 并且延续了一贯的具有自己高级风格，从低知识量入手的神秘证明（一位同学的评价：Futorny在尽量放低姿态了，我的回复：我也在尽量给自己拔苗助长了）

2026.01.23更新

这门课的前置课程只是线代有点难蚌，只会线代不要上这门课。

我本来是不知道这门课的，经过某位高人(神人)的推荐下，选了这门课。选之前看到的成绩占比是50pre+50期末，结果变成了10hw+30pre+60期末，一来就被诈骗了。

助教Leo人相当好，Leo真王朝了。不仅给我们做note，还做了考前的样卷。

此外，Leo还会提醒某些高人(神人)要注意作息，他真的我哭死。